قريبا

أعداد معقدة


نظرية الأعداد هي فرع الرياضيات الذي يبحث في خصائص الأعداد الطبيعية أو الأعداد الصحيحة الموجبة: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ... تنشأ الأعداد الطبيعية من عملية العد ومن المستحيل تخيل الإنسانية دون القدرة على العد. . كان مفهوم العدد الطبيعي axiomatizado (البديهيات هي البيانات المقبولة كما الحقائق المبكرة بدون مظاهرة) في عام 1889 من قبل عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بيانو (1858-1932) ، في واحدة من المظاهر الأولى للالاكسيميات الحديثة والتجريد الرياضي. مدد علماء الرياضيات الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة ، والعقلانية ، واللاعقلانية ، والمجمعات ، والرباعيات ، والأوكتونات ، وأعداد كايي ،.

من المستحيل تخيل نظرية الأعداد الخالية من نظرية الوظائف الغنية والقوية لمتغير معقد. أحد أهم الأمثلة هو وظيفة متغير معقد يسمى وظيفة ريتمان زيتا الذي يعطي معلومات حول توزيع الأعداد الأولية. يتم تعريفه بواسطة:

حيث الصورة = ج + أنا د هو رقم معقد و ج >1.

هذه الوظيفة هي مفتاح العرض التوضيحي لنظرية العدد الأولي التي تنص على أن الرقم رئيس ص مثل هذا ص أقل من أو يساوي سهو تقريبا

عندما س انها كبيرة جدا. تم تخمين هذه النظرية من قبل غاوس وليجند ، وظهرت من قبل Hadamard و La Vallée Poussin في عام 1898.

تاريخ الأرقام المعقدة رائعة. تظهر السجلات التاريخية أنه بحلول عام 2500 قبل الميلاد ، كان السومريون بحاجة إلى الطرح. الأرقام التي نعرفها أعداد صحيحة سالبة هم نتيجة لطرح بعض. على سبيل المثال ، في التدوين الحديث ، تكون نتيجة الطرح 5-10 هي -5. لم يقاوم علماء الرياضيات ، عبر التاريخ ، ضغط فضول ضرب الأرقام السالبة مما أدى إلى مجموعة رقمية ندعو حاليا مجموعة أرقام كاملة: {0 ، 0 1 ، ± 2 ، ± 3 ...}. يعتقد فيثاغورس (550 قبل الميلاد) أنه يمكن فهم العالم لأسباب تتعلق بالنموذج م/ن (عقلاني) مع م و ن الطبيعية و ن متميزة من الصفر. ومع ذلك ، فقد انهار هذا النموذج من العالم عندما اكتشف أن قياس قطري مربع ، مع جوانب قياس 1 ، هو . الآن ليس السبب الطبيعي! بالإضافة إلى ذلك ، اكتشف فيثاغورس العديد من الآخرين من هذا النوع: , , , ,…

لذلك ، من خلال الاحتياجات الجوهرية للبحث الرياضي ، تم توسيع عالم الأرقام الطبيعية على نطاق واسع. أثناء تطوير الجبر في العصور الوسطى ، اكتشف علماء الرياضيات الإيطاليون أنواعًا مختلفة من المعادلات وصنفوا حلولهم. أظهر هذا التحقيق أن بعض المعادلات ليس لديها حل من حيث الأرقام المعروفة. تتمثل إحدى المشكلات التي تمت مواجهتها في حل المعادلة x² + 1 = 0. لا يبدو أن لهذه المعادلة حلاً لأنها تتناقض مع حقيقة أن كل رقم حقيقي بخلاف الصفر ، عندما يكون مربعًا ، موجب. رفض علماء الرياضيات الهنود والعرب ، عند مواجهة هذه المعادلات ، تحديد أي رمز للتعبير عن الجذر التربيعي لعدد سالب لأنهم اعتبروا المشكلة لا معنى لها على الإطلاق. في القرن السادس عشر ، بدأت جذور الأعداد السالبة تظهر في النصوص الجبرية ، لكن المؤلفين شددوا على أن التعبيرات لا معنى لها وتستخدم مصطلحات مثل "وهمية" ، "مستحيلة" ، "متطورة" لتذكرها. عالم الرياضيات الألماني لايبنيز (1646-1716) ، أحد مخترعي حساب التفاضل والتكامل التفاضلي ، يعزى إلى الجذر التربيعي ل -1 شخصية الميتافيزيقية معينة من خلال تفسيره على أنه مظهر من مظاهر "الروح الإلهي" ؛ حدث نفس الشعور بالدهشة لعالم الرياضيات السويسري لينهارد يولر.

قدم بعض علماء الرياضيات الأوروبيين ، وخاصة الإيطاليين جيرولامو كاردانو ورافاييللو بومبيلي ، أعدادًا معقدة في الجبر خلال القرن السادس عشر عندما افترضوا وجود جذور مربعة من الأرقام السالبة ، على الرغم من أنهم اعتبروا هذه الجذور "أعدادًا مستحيلة" ، وبالتالي ، نسميها "أرقام وهمية". لهذا السبب ، حتى يومنا هذا يبقى اسم الأرقام الخيالية عندما نشير إلى جذور مربعة من الأرقام السالبة. افتراض وجود جذور مربعة من الأعداد الصحيحة السالبة ، وعلى افتراض ذلك أنا هو حل المعادلة س² + 1 = 0 ، وهذا هو ، البديهية ذلك أنا إرضاء العلاقة أنا² = -1 ، يمكنك إجراء عمليات تنطوي أنا والأعداد الحقيقية. لذلك عن أي رقم حقيقي إيجابي ال، الجذر التربيعي للرقم السالب -ال é أنا أي = أنا . بالنظر إلى الأرقام الفعلية ج و د، يمكننا مضاعفة د بواسطة أنا واحصل أنا دو أضف إلى ج للحصول على ج + أنا د. بشكل عام ، يتم كتابة أي رقم مركب كـ ج + د أناحيث ج يسمى "الجزء الحقيقي" و د "الجزء الخيالي". حتى نحصل على أرقام النموذج ج + أنا د تشكيل مجموعة من الأرقام المعقدة. في مجموعة الأعداد المركبة ، يمكننا أن نضيف وضربنا بتكوين بنية جبرية تسمى الجسم من الأرقام المعقدة.

غالبًا ما يمثل علماء الرياضيات أرقامًا حقيقية كنقاط على خط يسمى الخط الحقيقي ، حيث تقابل كل نقطة رقمًا حقيقيًا واحدًا ويربط كل رقم حقيقي نقطة واحدة على ذلك السطر. بما أنه لا يمكن تمثيل الجذر التربيعي لعدد سالب في هذا الخط ، فقد استمر الجمود حتى القرن التاسع عشر. أول من اقترح التصور كان من بين المجمعات التي حددتها كنقاط على متن الطائرة ثنائية الأبعاد كاسبار ويسل النرويجية في 1797. تم اكتشاف هذه الفكرة من قبل جان روبرت أرجاند ، المحاسب السويسري ، الذي نشر كتابًا في عام 1860 حول هذا الموضوع وأيضًا عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس. نظرًا لأنه كان من المستحيل ربط نقطة من الخط الحقيقي مع الجذر التربيعي لرقم سالب ، تم حل المشكلة عن طريق ربط الأرقام المتخيلة بنقاط على خط عمودي على الخط الحقيقي ، مروراً بنقطة الصفر ، وبالتالي إنشاء نظام إحداثي ديكارت. . في هذا النظام ، يتم وضع الأرقام الحقيقية على المحور الأفقي ، يسمى محور حقيقي، وجميع الأرقام وهمية على الخط عمودي على الخط الحقيقي ، ويمر عبر الصفر من الخط الحقيقي الأفقي ، ودعا محور وهمي. كما = = أنا ، يمكن وضع جميع الأرقام الوهمية على المحور الوهمي كمضاعفات أنا = . لذلك ، لا يقتصر الأمر على أن يكون للخيال تمثيل رسومي ، بل يتم تمثيل التوليفات الممكنة الحقيقية والخيالية ، أي الأعداد المركبة ، بنقاط في المستوى المحدد بواسطة المحاور الحقيقية والخيالية ، وتسمى خطة معقدة.

أدت موهبة غاوس وعبقريته إلى واحدة من أعمق نتائج الرياضيات ، وهي نظرية الجبر الأساسية ، التي تنص على أن كل معادلة متعددة الحدود لها حل في جسم الأعداد المركبة. بالإضافة إلى هذه النتيجة المهمة جدًا ، أدت جبر الأعداد المركبة إلى ظهور مجال جديد من الأبحاث - التحليل المركب - والذي يلعب دورًا رئيسيًا في تطوير الجبر ونظرية الأعداد. تمثل الأعداد المركبة أحد أهم بنى العلوم. اليوم ، من المستحيل أن تتخيل الهندسة الكهربائية ، الديناميكا الهوائية ، أو ديناميكا الموائع بدون أعداد معقدة. تستخدم ميكانيكا الكم أرقامًا معقدة ، وفي نظرية النسبية لآينشتاين ، يُنظر إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد على أنه بُعد حقيقي ومرتبط بالوقت باعتباره خيالًا.

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: Complex numbers الاعداد التخيلية - الاعداد المركبة (يوليو 2020).