قريبا

لا متعة الكون الرياضي فارغة


على الرغم من أننا قد نكون خياليين ومبدعين ، لا يمكننا أن نستنتج وجود مجموعات من البديهيات الأخرى التي لم تعد تحتوي في حد ذاتها على فرضية وجود أي مجموعة. أو على الأقل ، لكي نكون أكثر صرامة ، يمكننا أن نقول أنه لا أحد حتى يومنا هذا حقق الانجاز المتمثل في تحقيق مجموعة رياضية من البديهيات الأخرى التي لم تعد تحتوي على أي فرضية وجود. لذلك دعونا لا نطيل معاناة عدم وجود مجموعات. نحن ننحني إلى حقيقة عجزنا لإنتاج مجموعات من لا شيء ، دعنا نقنعك أن هناك مجموعات من الآن فصاعدًا. هذه الحقيقة بلا منازع ستكون لنا صفر اكسيوم.

لاحظ أنه ، من ناحية أخرى ، دعونا لا نبالغ في رغبتنا في مجموعة ما في الرياضيات. الافتراض بأن هناك مجموعات لا يسمح لنا أن نذكر أن هناك أكثر من مجموعة واحدة. أكثر ما يمكن أن نقوله عن وجود أي شيء هو وجود البديهيات 0 و 1 و 2 و 3 ، فقط أكسيوم 0 تؤكد لنا أن هناك مجموعات ، لكنها لا تخبرنا عن عدد المجموعات الموجودة.

يجب أن نتأكد بعد ذلك من العواقب المترتبة على هذه البديهيات الأربع ، وخاصة إذا استطعنا أن نستنتج أن هناك مجموعات كثيرة في الرياضيات. دعونا نتذكر اكسيوم 2 ، التي ذكرت أنه إذا ال كانت مجموعة موجودة مسبقا ثم سيكون هناك أيضا مجموعة ب = {س ينتمون إلى ال: أ (س)} ، والتي يمكن فهمها على أنها "ب هي مجموعة فرعية من ال التي شكلتها مجموعات س التي تنتمي إلى ال والتي ترضي الممتلكات ال". الآن يمكننا أن نفكر على الفور في خاصية بسيطة أ (س): س س.

وهذا هو ، الخاصية التي نفكر فيها هي ذلك س يفي بشرط كن مختلفا عن نفسك. لذلك نحن تحديد مجموعة ب = {س ينتمون إلى ال: أ (س)}= {س ينتمون إلى ال: س ≠ س }. أنت تدرك بالفعل أنه لا توجد مجموعات تنتمي إلى هذه المجموعة ، لأنه لا توجد مجموعة مختلفة عن نفسها. لذلك عندما نفكر في مجموعة فرعية من مجموعات المجموعة ال التي تختلف عن نفسها ، ونحن نفكر في مجموعة "إفراغ". نكتشف بعد ذلك أن المجموعة الأولى التي تقدم لنا هي بالضبط مجموعة فارغة، أي ، مجموعة لها الخاصية التي أيا كانت مجموعة X من الكون الرياضي ، X لا ينتمي إلى مجموعة فارغة. لنعمد هذه المجموعة الأولى التي ظهرت إلى حيز الوجود Æ. ومن المثير للاهتمام أن هذه الحقيقة هي على وجه التحديد المجموعة الأولى التي أصبحنا على علم بها هي "مع مجموعة لا شيء في الداخل”.

الرياضيات هي هكذا ، إنها دائما رائعة. تريد المزيد من المفاجآت؟ حسنًا ، دعنا نستنتج الآن أنه من المجموعة الفارغة Æمجموعات لا حصر لها في الكون الرياضي. فكر في اكسيوم الزوج واكسيوم 3: فكيف Æ موجودة يمكننا تشكيل مجموعة { Æ, Æ} = { Æ}. مرة أخرى ، باستخدام Axiom of the Pair ، و Axiom 3 ، نستنتج أن هناك المجموعة {Æ, { Æ}}. لم نعد نتوقف الآن: من خلال تطبيق Axioms 2 و 3 على التوالي ، نحصل على تسلسل لانهائي من المجموعات: Æ, {Æ}, {Æ, { Æ}}, {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}, … .نحن مستعدون للتعريف والاعتراف التاليين: 0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = {Æ, { Æ}}, 3 = {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}، ... لقد تعرفت للتو على "أعداد طبيعيةوالتي بدورها وُلدت للتو وأصبحت أول سكان الكون الرياضي. لاحظ أيضًا أن 1 = {0} ، 2 = {0 ، 1} ، 3 = {0 ، 1 ، 2} ، ... CHALLENGE: اقرأ هذا العمود بعناية ، ومرات عديدة حسب الضرورة ، حتى تكون مقتنعًا تمامًا بأنك تفهم ماهية "الأرقام الطبيعية". التحدي الأخير هو أن نطلب منه أن يثبت أن الأعداد الطبيعية كلها من اثنين إلى اثنين. لذلك هناك أشياء رياضية لا حصر لها!

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: خليط الرمان و التمر إعجاز علمي. سبحان من قال فيهما فاكهة ونخل ورمان (يوليو 2020).